Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n²-（n²+2n-3）S_n-3（n²+2n）=0（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：S_n=n²+2n；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和Tn．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件進(jìn)行因式分解即可證明S_n=n²+2n；
（Ⅱ）求出求數(shù)列{

1

Sn

}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n²-（n²+2n-3）S_n-3（n²+2n）=0（n∈N^*），
∴[S_n-（n²+2n）][（S_n+3）]=0，
∴S_n=n²+2n或S_n=-3，
∵{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，
∴S_n=n²+2n成立．
（Ⅱ）∵S_n=n²+2n
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
則數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和Tn=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查學(xué)生的計(jì)算能力．