Question

7．若f（x）=log_a（x²-2ax）在（1，3）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由函數(shù)g（x）=x²-2ax的對(duì)稱軸為x=a，a＞1時(shí)g（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，且g（x）＞0恒成立，0＜a＜1時(shí)g（x）在（1，3）上單調(diào)遞增，且g（x）＞0恒成立，列出不等式求出a的取值范圍．

解答 解：由題意得函數(shù)g（x）=x²-2ax的對(duì)稱軸為x=a，
①當(dāng)a＞1時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，g（x）在（1，3）單調(diào)遞減，
且g（x）＞0在（1，3）上恒成立；
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{g（3）=9-6a＞0}\\{a≥3}\end{array}\right.$，
此時(shí)a不存在；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，g（x）在（1，3）單調(diào)遞增，
且g（x）＞0在（1，3）恒成立；
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{g（1）=1-2a≥0}\\{a≤1}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤$\frac{1}{2}$；
綜上，a的取值范圍是0＜a≤$\frac{1}{2}$．
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由對(duì)數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，解題中一定要注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0這一條件的考慮，是易錯(cuò)題．