Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)A在橢圓C上，△AF₁F₂的周長(zhǎng)為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作直線l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若以AB為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求證：$\frac{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率，橢圓的定義，列出方程組，即可求解橢圓C的方程．
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．轉(zhuǎn)化$\frac{{\left|{\overrightarrow{OA}}\right|•\left|{\overrightarrow{OB}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{AB}}\right|}}$的值即為點(diǎn)O到直線AB的距離d，當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+t，利用韋達(dá)定理綜上，求出$\frac{{\left|{\overrightarrow{OA}}\right|•\left|{\overrightarrow{OB}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{AB}}\right|}}$為定值．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ 2a+2c=6\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}\\ a=2\\ c=1\end{array}\right.$．
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，則$OA⊥OB，\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
所以$\frac{{\left|{\overrightarrow{OA}}\right|•\left|{\overrightarrow{OB}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{AB}}\right|}}$的值即為點(diǎn)O到直線AB的距離d．…（7分）
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，可設(shè)A（m，m），B（m，-m），
又A，B在橢圓C上，所以$\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{3}=1$，即${m^2}=\frac{12}{7}$．
所以點(diǎn)O到直線AB的距離為$d=\left|m\right|=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．…（8分）
當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，可設(shè)AB的方程為y=kx+t，與橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$聯(lián)立消y得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0，由△＞0，得3+4k²＞t²．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{8kt}{{3+4{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{4{t^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．…（10分）
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+kt（{x_1}+{x_2}）+{t^2}$=$（{k^2}+1）\frac{{4{t^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-kt\frac{8kt}{{3+4{k^2}}}+{t^2}=0$，化簡(jiǎn)得7t²=12（k²+1）．…（12分）
所以點(diǎn)O到直線AB的距離為$d=\frac{\left|t\right|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
綜上，點(diǎn)O到直線y=kx+t的距離為定值，且定值為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，
即$\frac{{\left|{\overrightarrow{OA}}\right|•\left|{\overrightarrow{OB}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{AB}}\right|}}$為定值，且定值為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．