Question

15．已知A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），求三個(gè)坐標(biāo)平面與平面ABC夾角的余弦．

Answer 1

分析 先求出平面ABC的法向量，再利用法向量的夾角公式即可得出．

解答 解：∵A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），
∴$\overrightarrow{AB}=（-1，2，0）$，$\overrightarrow{AC}=（-1，0，3）$．
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+3z=0}\end{array}\right.$，
令x=2，則y=1，z=$\frac{2}{3}$．∴$\overrightarrow{n}=（2，1，\frac{2}{3}）$．
①取平面xoy的法向量$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$．
則$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|\;|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1×\sqrt{{2}^{2}+1+（\frac{2}{3}）^{2}}}$=$\frac{2}{7}$．
則平面x0y與平面ABC夾角的余弦為$\frac{2}{7}$．
②設(shè)平面xoz的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）．
則$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|\;|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{{2}^{2}+1+（\frac{2}{3}）^{2}}}$=$\frac{3}{7}$．
則平面x0z與平面ABC夾角的余弦為$\frac{3}{7}$．
③設(shè)平面yoz的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
則$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|\;|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{{2}^{2}+1+（\frac{2}{3}）^{2}}}$=$\frac{6}{7}$．
則平面y0z與平面ABC夾角的余弦為$\frac{6}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二面角的計(jì)算，利用向量法是解決二面角的常用方法，熟練掌握利用二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角公式求得二面角是解題的關(guān)鍵．