Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+1|+|2x-1|-m}$．
（1）當m=3時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 令g（x）=|x+1|+|2x-1|并分段寫出．
（1）直接由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求解絕對值的不等式得答案；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為R，即|x+1|+|2x-1|-m≥0恒成立，分離參數(shù)m后求解函數(shù)g（x）的值域得答案．

解答 解：令g（x）=|x+1|+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x≤-1}\\{2-x，-1＜\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
（1）當m=3時，$f（x）=\sqrt{|x+1|+|2x-1|-3}$，
由|x+1|+|2x-1|-3≥0，得$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-3x-3≥0}\end{array}}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x≤\frac{1}{2}\\ 2-x-3≥0\end{array}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{3x-3≥0}\end{array}}\right.$，
解得x≤-1，或x≥1，
故函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≤-1，或x≥1}；
（2）由題可知|x+1|+|2x-1|-m≥0恒成立，即m≤|x+1|+|2x-1|=g（x）恒成立，
由（1）知$g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{3}{2}$，故$m≤\frac{3}{2}$．
∴$m∈（-∞，\frac{3}{2}]$．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了分段函數(shù)的應用，訓練了利用分離變量法求解參數(shù)的范圍，是中檔題．