14．已知圓錐的底面半徑為1cm，高為2cm，其中有一個(gè)內(nèi)接長方體，則這個(gè)內(nèi)按長方體的體積的最大值為$\frac{16}{27}$cm3．

分析 由題意，內(nèi)接長方體最大時(shí)，底面為正方形．由相似性得長方體的高，利用基本不等式求得結(jié)論．

解答 解：由題意，內(nèi)接長方體最大時(shí)，底面為正方形．
∵圓錐的底面半徑為，高為2，且設(shè)AC=2a
∴由相似性得$\frac{{O}_{1}{C}_{1}}{1}$=$\frac{2-C{C}_{1}}{2}$，
解得長方體的高CC1=2-2a
長方體底面邊長為$\sqrt{2}$a，∴底面面積S=2a2
由已知棱柱的高為2-2a，
∴長方體體積=2a2×（2-2a）≤2×$（\frac{a+a+2-2a}{3}）^{3}$=$\frac{16}{27}$
則當(dāng)a=2-2a即a=$\frac{2}{3}$時(shí)，長方體體積有最大值$\frac{16}{27}$
故答案為：$\frac{16}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓錐的內(nèi)接長方體問題，以及基本不等式在最值中的應(yīng)用，同時(shí)考查了分析問題的能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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③QQ好友“巴中二環(huán)通起來”發(fā)現(xiàn)：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
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