Question

12．如圖（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分別為線段PC、PD、BC的中點，現(xiàn)將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（圖（2））．
（1）求證：平面EFG∥平面PAB；
（2）若點Q是線段PB的中點，求證：PC⊥平面ADQ；
（3）求三棱錐C-EFG的體積．

Answer 1

分析 （1）證明EF∥AB．利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAB．然后利用平面與平面平行的判定定理證明平面EFG∥平面PAB．
（2）連接DE，EQ，證明PD⊥AD，AD⊥PC．推出DE⊥PC，利用直線與平面垂直的判定定理證明PC⊥平面ADQ．
（3）利用等體積V_C-EFG=V_G-CEF，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）證明：∵E、F分別是PC，PD的中點，
∴EF∥CD
又CD∥AB．∴EF∥AB．
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
同理，EG∥平面PAB，∵EF∩EG=E，EF?平面EFG，EG?平面EFG
∴平面EFG∥平面PAB．                …（4分）
（2）解：連接DE，EQ，
∵E、Q分別是PC、PB的中點，∴EQ∥BC，又 BC∥AD．
∴EQ∥AD
∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD．∴PD⊥AD，
又AD⊥DC，PD∩DC=D∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC．
在△PDC中，PD=CD，E是PC的中點，∴DE⊥PC，
∵DE∩AD=D∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ．  …（8分）
（3）V_C-EFG=V_G-CEF=$\frac{1}{3}$S_△CEF•GC=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×1×1）×1=$\frac{1}{6}$．…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面平行的判定定理，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．