Question

2．已知橢圓W：$\frac{x^2}{2m+10}+\frac{y^2}{{{m^2}-2}}$=1的左焦點(diǎn)為F（m，0），過(guò)點(diǎn)M（-3，0）作一條斜率大于0的直線l與W交于不同的兩點(diǎn)A、B，延長(zhǎng)BF交W于點(diǎn)C．
（Ⅰ）求橢圓W的離心率；
（Ⅱ）求證：點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱．

Answer 1

分析 （I）利用已知條件求出m值．得到橢圓的方程．求出離心率．
（II）設(shè)直線l的方程為y=k（x+3）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x+3}）\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$利用判別式求出k的范圍，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），結(jié)合韋達(dá)定理求出設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，則C′（x₁，-y₁），推出$\overrightarrow{FC′}=（{{x_1}+2，\;\;-{y_1}}）$，$\overrightarrow{FB}=（{{x_2}+2，\;\;{y_2}}）$．共線即可．

解答 （共13分）
解：（I）由題意（2m+10）-（m²-2）=m²（m＜0），
解得m=-2．
所以橢圓$W：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．（5分）

（II）設(shè)直線l的方程為y=k（x+3）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x+3}）\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$
得（1+3k²）x²+18k²x+27k²-6=0．
由直線l與橢圓W交于A、B兩點(diǎn)，可知
△=（18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）＞0，解得${k^2}＜\frac{2}{3}$．
設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{-18{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{27{k^2}-6}}{{1+3{k^2}}}$，y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．
因?yàn)镕（-2，0），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，則C′（x₁，-y₁），
所以$\overrightarrow{FC′}=（{{x_1}+2，\;\;-{y_1}}）$，$\overrightarrow{FB}=（{{x_2}+2，\;\;{y_2}}）$．
又因?yàn)椋▁₁+2）y₂-（x₂+2）（-y₁）=（x₁+2）k（x₂+3）+（x₂+2）k（x₁+3）=k[2x₁x₂+5（x₁+x₂）+12]=$k[{\frac{{54{k^2}-12}}{{1+3{k^2}}}+\frac{{-90{k^2}}}{{1+3{k^2}}}+12}]$=$\frac{{k（{54{k^2}-12-90{k^2}+12+36{k^2}}）}}{{1+3{k^2}}}=0$，
所以B，F(xiàn)，C′共線，從而C與C′重合，故點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與直線的綜合應(yīng)用，向量共線的充要條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．