Question

1．今年三月份，四川大學(xué)某專業(yè)對參加研究生考試初試合格后的考生進行復(fù)試，有小張、小王、小李三名大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)生初試合格參加該專業(yè)復(fù)試，他們能通過復(fù)試的概率分別是$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$．
（I）求三位同學(xué)恰有兩位同學(xué)通過復(fù)試的概率；
（Ⅱ）求通過復(fù)試人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)事件A表示“小張能通過復(fù)試”，事件B表示“小王能通過復(fù)試”，事件C表示“小李能通過復(fù)試”，由此能求出三位同學(xué)恰有兩位同學(xué)通過復(fù)試的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)事件A表示“小張能通過復(fù)試”，事件B表示“小王能通過復(fù)試”，事件C表示“小李能通過復(fù)試”，
則P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，P（C）=$\frac{2}{3}$，
∴三位同學(xué)恰有兩位同學(xué)通過復(fù)試的概率為：
P=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}BC$）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{13}{30}$．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{60}$，
P（ξ=1）=P（$A\overline{B}\overline{C}$）+P（$\overline{A}B\overline{C}$）+P（$\overline{A}\overline{B}C$）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{9}{60}$，
P（ξ=2）=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}BC$）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{26}{60}$．
P（ξ=3）=P（ABC）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{24}{60}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{60}$	$\frac{9}{60}$	$\frac{26}{60}$	$\frac{24}{60}$

Eξ=$0×\frac{1}{60}+1×\frac{9}{60}+2×\frac{26}{60}+3×\frac{24}{60}$=$\frac{133}{60}$．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．