Question

9．正方形ABCD的邊長為2，P，Q分別是線段AC，BD上的點，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PQ}$的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可知線段AC，BD互相垂直且平分，從而可分別以這兩線段所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而可求出A，B，C，D四點坐標(biāo)，并設(shè)P（0，y），Q（x，0），且由題意知x，y$∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，這樣便可求出向量$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{PQ}$的坐標(biāo)，進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算便可求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PQ}=-{y}^{2}+\sqrt{2}y$，而配方即可得出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PQ}$的最大值．

解答 解：正方形ABCD的對角線DB，CA互相垂直平分，∴分別以這兩線段所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：

$A（0，\sqrt{2}），B（\sqrt{2}，0），C（0，-\sqrt{2}），D（-\sqrt{2}，0）$；
設(shè)P（0，y），Q（x，0），$x，y∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$；
∴$\overrightarrow{AP}=（0，y-\sqrt{2}），\overrightarrow{PQ}=（x，-y）$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PQ}=-{y}^{2}+\sqrt{2}y$=$-（y-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$；
∴$y=\frac{\sqrt{2}}{2}$時，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PQ}$取最大值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標(biāo)，正方形的對角線互相垂直且平分，三角函數(shù)的定義，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，配方求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法．