Question

3．已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，斜率為$2\sqrt{2}$的直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁ ）、B（x₂，y₂ ），（x₁＜x₂），且|AB|=9．
（Ⅰ）求該拋物線的方程；
（Ⅰ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式求得p，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出A，B的坐標(biāo)結(jié)合$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$求出C的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得λ值．

解答 解：（Ⅰ）依題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}，0$），故直線AB的方程為$y=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}p$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}p}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，可得4x²-5px+p²=0．
∵x₁＜x₂，p＞0，△=25p²-16p²=9p²＞0，解得${x}_{1}=\frac{p}{4}，{x}_{2}=p$．
∴經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的弦|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{9}{4}p=9$，解得p=4．
∴拋物線方程為y²=8x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x₁=1，x₂=4，代入直線y=$2\sqrt{2}x-4\sqrt{2}$，
可求得${y}_{1}=-2\sqrt{2}$，${y}_{2}=4\sqrt{2}$，即A（1，-2$\sqrt{2}$），B（4，$4\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$=（1，-2$\sqrt{2}$）+λ（4，$4\sqrt{2}$）=（4λ+1，$4\sqrt{2}λ-2\sqrt{2}$），
∴C（4λ+1，$4\sqrt{2}λ-2\sqrt{2}$），
∵C點(diǎn)在拋物線上，故$（4\sqrt{2}λ-2\sqrt{2}）^{2}=8（4λ+1）$，解得：λ=0或λ=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．