Question

6．正六棱錐的底面周長為24，斜高SH與高SO所成的角為30°．
求：（1）棱錐的高；（2）斜高；（3）側(cè)棱長．

Answer 1

分析 （1）由已知得正六棱錐的底面邊長為4，取BC中點H，連結(jié)SH，則SH⊥BC，設(shè)O是正六棱錐S-ABCDEF的中心，連結(jié)SO，則∠OSH=30°，∠SHO=60°，由此能求出棱錐的高SO．
（2）由斜高SH=2OH，能求出結(jié)果．
（3）由SO=6，OB=BC=4，利用勾股定理能求出側(cè)棱長．

解答 解：（1）∵正六棱錐的底面周長為24，∴正六棱錐的底面邊長為4，
在正六棱錐S-ABCDEF中，取BC中點H，連結(jié)SH，則SH⊥BC，
設(shè)O是正六棱錐S-ABCDEF的中心，連結(jié)SO，則SO⊥底面ABCDEF，
∴OH⊥BC，∠SHO是側(cè)面與底面所成角的二面角，
∵斜高SH與高SO所成的角為30°，∴∠OSH=30°，∠SHO=60°，
在Rt△SOH中，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}BC=2\sqrt{3}$，
∴棱錐的高SO=OH•tan60°=2$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=6．
（2）在Rt△SOH中，斜高SH=2OH=4$\sqrt{3}$．
（3）在Rt△SOH中，SO=6，OB=BC=4，
∴側(cè)棱長SB=$\sqrt{S{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{36+16}$=2$\sqrt{13}$．

點評 本題考查棱錐的高、斜高、側(cè)棱長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和勾股定理的合理運用．