Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＜x，則不等式（x+1）²f（x+1）-4f（-2）＞0的解集為（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． （-2，-1）
• C． （-∞，-3）
• D． （-3，-1）

Answer 1

分析 由不等式，構(gòu)造新函數(shù)，由新函數(shù)的單調(diào)性，可以確定解集．

解答 解：∵2f（x）+xf′（x）＜x，
∴兩邊同時(shí)乘以x，得2xf（x）+x²f′（x）＞x²，
令g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞x²＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．
∵（x+1）²f（x+1）-4f（-2）＞0，
∴（x+1）²f（x+1）＞（-2）²f（-2），
∴g（x+1）＞g（-2），
∵g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．
∴-2＜x+1＜0
∴-3＜x＜-1
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新函數(shù)的構(gòu)造，由新函數(shù)的單調(diào)性確定出解集即可．