Question

6．將函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）（0＜φ＜π）圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）對(duì)稱，則函數(shù)g（x）=cos（x+φ）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值是（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律及余弦函數(shù)的性質(zhì)可解得φ的值，求得函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$），利用余弦函數(shù)值域求得函數(shù)g（x）的最值．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），
∴將函數(shù)f（x）圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后，得到函數(shù)解析式為：y=2sin[2（x+$\frac{π}{4}$）+φ+$\frac{π}{3}$]=2cos（2x+φ+$\frac{π}{3}$），
∵函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）對(duì)稱，
∴對(duì)稱中心在函數(shù)圖象上，可得：2cos（2×$\frac{π}{2}$+φ+$\frac{π}{3}$）=2cos（π+φ+$\frac{π}{3}$）=0，解得：π+φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴解得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴g（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴cos（x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，則函數(shù)g（x）=cos（x+φ）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值是$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域、值域，屬于中檔題．