Question

2．記方程①x²+a₁x+1=0，②x²+a₂x+1=0，③x²+a₃x+1=0，其中a₁，a₂，a₃是正實(shí)數(shù)，當(dāng)a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，下列選項(xiàng)中，正確的是（　�。�

• A． 若方程②③都有實(shí)根則方程①無實(shí)根
• B． 若方程②③都有實(shí)根則方程①有實(shí)根
• C． 若方程②無實(shí)根但方程③有實(shí)根時(shí)，則方程①無實(shí)根
• D． 若方程②無實(shí)根但方程③有實(shí)根時(shí)，則方程①有實(shí)根

Answer 1

分析 由已知條件利用等比數(shù)列的性質(zhì)和一元二次方程的根的判別式求解．

解答 解：由方程①x²+a₁x+1=0，②x²+a₂x+1=0，③x²+a₃x+1=0，
其中a₁，a₂，a₃是正實(shí)數(shù)，a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，知：
在A中，若方程②③都有實(shí)根，則$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}≥4}\\{{{a}_{3}}^{2}≥4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}≥2}\\{{a}_{3}≥2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$有可能不小于2，∴方程①有可能有實(shí)根，故A錯(cuò)誤；
在B中，若方程②③都有實(shí)根，則$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}≥4}\\{{{a}_{3}}^{2}≥4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}≥2}\\{{a}_{3}≥2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$有可能小于2，∴方程①可能無實(shí)根，故B錯(cuò)誤；
在C中，若方程②無實(shí)根但方程③有實(shí)根，則$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}＜4}\\{{{a}_{3}}^{2}＞4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}＜2}\\{{a}_{3}＞2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$＜2，∴方程①無實(shí)根，故C正確；
在D中，若方程②無實(shí)根但方程③有實(shí)根，則$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}＜4}\\{{{a}_{3}}^{2}＞4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}＜2}\\{{a}_{3}＞2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$＜2，∴方程①無實(shí)根，故D錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)和一元二次方程的根的判別式的合理運(yùn)用．