Question

13．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中（底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱叫正三棱柱），各棱長都是4，D是BC的中點．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求二面角D-AB₁-B的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接A₁B交AB₁于O，連接OD，通過中位線定理及線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）過D作DE⊥AB于E，過作EF⊥AB₁于F，連接DF．則∠DFE為二面角D-AB₁-B的平面角，在Rt△ADB₁中計算可得DF=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，在Rt△DEF中計算sin∠DFE=$\frac{DE}{DF}$即可．

解答 （Ⅰ）證明：連接A₁B交AB₁于O，連接OD，
∵四邊形ABB₁A₁為正方形，
∴O為A₁B的中點，
又∵D是BC中點，∴OD∥A₁C，
∵OD?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）解：過D作DE⊥AB于E，過作EF⊥AB₁于F，連接DF．
∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，平面ABC∩平面ABB₁A₁=AB，
∴DE⊥平面ABB₁A₁，A₁B?平面ABB₁A₁，∴DE⊥AB₁，
又∵EF⊥AB₁，DE∩EF=E，
∴AB₁⊥平面DEF，DF?平面DEF，∴AB₁⊥DF，
∴∠DFE為二面角D-AB₁-B的平面角，
在Rt△ADB₁中，AD•B₁D=AB₁•DF，∴DF=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，
在正三角形ABC中，DE=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△DEF中，sin∠DFE=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{30}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴二面角D-AB₁-B的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查空間中線面平行的判定，以及求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．