Question

7．在△ABC中，AB=BC，AC=2$\sqrt{3}$，∠ABC=120°，若P為邊AC上的動點．則$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍是[-2，4]．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求解直角三角形求出AB，BC的長度，設(shè)$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AC}（0≤λ≤1）$，然后把$\overrightarrow{BP}$用$\overrightarrow{BA}、\overrightarrow{BC}$表示，則$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍可求．

解答 解：如圖，
在△ABC中，過B作BD⊥AC于D，
由AB=BC，AC=2$\sqrt{3}$，∠ABC=120°，得AB=$\frac{\frac{1}{2}AC}{cos30°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$．
∵P為邊AC上的動點，∴$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AC}（0≤λ≤1）$，
則$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}）=\overrightarrow{BA}•（\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{BA}•（\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{BC}-λ\overrightarrow{BA}）$
=$（1-λ）{\overrightarrow{BA}}^{2}+λ\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4（1-λ）+$λ×2×2×（-\frac{1}{2}）$=4-6λ．
∵0≤λ≤1，∴4-6λ∈[-2，4]．
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍[-2，4]．
故答案為：[-2，4]．

點評 本題以三角形中的向量為載體，考查了向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．關(guān)鍵是根據(jù)圖形特征，將題中未知的向量用已知長度的向量來線性表示，再求數(shù)量積的取值范圍．