Question

5．如圖PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=2，點F是PB的中點，點E是BC邊上的任意一點．
（Ⅰ）求三棱錐E-PAD的體積；
（Ⅱ）當E是BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：AF⊥PE．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)棱錐的體積公式計算；
（II）由三角形中位線定理即可證明EF∥PC，從而EF∥平面PAC；
（III）由三線合一可得AF⊥PB，由PA⊥平面ABCD得BC⊥PA，又BC⊥AB，故BC⊥平面PAB，從而由BC⊥AF，于是AF⊥平面PBC，得出AF⊥PE．

解答 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴V_E-PAD=V_P-ADE=$\frac{1}{3}•{S}_{△ADE}•AP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）EF∥平面PAC．
證明：∵E為BC的中點，F(xiàn)是BP的中點，
∴EF∥PC，又∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（Ⅲ）∵PA=AB，F(xiàn)是BP的中點，∴AF⊥PB，
∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．又∵AF?平面PAB，
∴BC⊥AF．
又∵PB⊥AF，PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，
∴AF⊥平面PBC，∵PE?平面PBC，
∴AF⊥PE．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．