Question

4．已知函數(shù)f（x）=cos2x+asinx（a∈R），
（Ⅰ）若a=6，求f（x）的最大值及此時x的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最小值為4，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（Ⅱ）通過換元，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為 y=-2t²+at+1，t∈[$\frac{1}{2}$，1]，分類討論即可得出．

解答 解：（I）f （x）=-2sin²x+asinx+1，設(shè)t=sinx，
原函數(shù)轉(zhuǎn)化為 y=-2t²+6t+1，t∈[-1，1]，
故t=1，即x∈$\{x|x=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z\}$時，函數(shù)有最大值為5；
（Ⅱ）原函數(shù)轉(zhuǎn)化為 y=-2t²+at+1，t∈[$\frac{1}{2}$，1]，分類如下：
（1）若a≥3，當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，y_min=$\frac{a+1}{2}$=4，故符合題意的a=7；
（2）若a＜3，當(dāng)t=1時，y_min=a-1=4，此時不存在符合題意的實數(shù)a；
綜上，符合題意的a=7．

點評 本題考查了倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論與推理能力、計算能力，屬于中檔題．