Question

一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為3，它的各項(xiàng)平方后所組成的無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為

9

2

，則它的各項(xiàng)立方后所組成的無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和、它的各項(xiàng)平方后所組成的無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，根據(jù)極限和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，列出關(guān)于a₁、q方程求解，再求出它的各項(xiàng)立方后所組成的無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和．

解答： 解：設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列為{a_n}，公比為q，由題意得|q|＜1且q≠0，
則由題意得：

a1 1-q =3 a12 1-q2 = 9 2

，解得a₁=2，q=

1

3

，
∴它的各項(xiàng)立方后所組成的無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為：

a13

1-q3

=

8

1- 1 27

=

108

13

，
故答案為：

108

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和是指當(dāng)|q|＜1且q≠0時(shí)前n項(xiàng)和的極限，解題的關(guān)鍵是由無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和可得前n項(xiàng)和的極限存在，則可得|q|＜1且q≠0，這也是考生常會(huì)漏掉的知識(shí)點(diǎn)．