Question

1．已知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，若對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（$\frac{1}{x}$）-x]=2，則f′（$\frac{1}{2}$）=-4．

Answer 1

分析 首先，根據(jù)函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，若對任意x∈（0，+∞），都有f[f（$\frac{1}{x}$）-x]=2，得到f（$\frac{1}{x}$）-x為一個常數(shù)，以t換$\frac{1}{x}$，得f（t）-$\frac{1}{t}$=n，則f（t）-$\frac{1}{t}$=n，f（n）=2，求出n，即可求出函數(shù)的解析式，求導(dǎo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，得若對任意x∈（0，+∞），都有f[f（$\frac{1}{x}$）-x]=2，得到f（$\frac{1}{x}$）-x為一個常數(shù)，
以t換$\frac{1}{x}$，得f（t）-$\frac{1}{t}$=n，
則f（t）-$\frac{1}{t}$=n，f（n）=2，
∴f（t）=$\frac{1}{t}$+n，
∴f（n）=$\frac{1}{n}$+n=2，
∴n=1，
∴f（x）=1+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=-4．
故答案為：-4．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的值，函數(shù)解析式的求法，其中抽象函數(shù)解析式的求法，要注意對已知條件及未知條件的湊配思想的應(yīng)用．