Question

6．已知函數(shù)f（x）=sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊f(xié)（C）=$\frac{5}{4}$，b=4，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=12，求c．

Answer 1

分析 （1）使用和角公式展開(kāi)再利用二倍角公式與和角的正弦公式化簡(jiǎn)f（x），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出；
（2）根據(jù)f（C）=$\frac{5}{4}$求出C，根據(jù)，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=12解出a，使用余弦定理解出c．

解答 解：（1）f（x）=sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）+1=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{4}$+1=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$．
令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}+kπ$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{2π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2）∵f（C）=$\frac{1}{2}$sin（2C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$，∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，∴C=$\frac{π}{6}$．
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=abcosC=2$\sqrt{3}$a=12，∴a=2$\sqrt{3}$．
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=12+16-24=4．
∴c=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，解三角形，屬于中檔題．