Question

20．（1）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{1}{4}$，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)（$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{2}$），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），根據(jù)題意建立關(guān)于p的方程，解之可得p=$\frac{1}{2}$，得到拋物線方程；
（2）設(shè)雙曲線方程為mx²-ny²=1（m＞0，n＞0），代入點(diǎn)（$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{2}$），可得方程組，求出m，n，即可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）由題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），
∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=x．
（2）設(shè)雙曲線方程為mx²-ny²=1（m＞0，n＞0），
代入點(diǎn)（$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{2}$），可得$\left\{\begin{array}{l}{2m-3n=1}\\{\frac{5m}{3}-2n=1}\end{array}\right.$，∴m=1，n=$\frac{1}{3}$，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-$\frac{1}{3}$y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線的準(zhǔn)線，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的知識(shí)，考查雙曲線方程，屬于基礎(chǔ)題．