Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$+$\frac{\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 先喲題意得到$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，$\frac{\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$，$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$，分別表示向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的單位向量，求出向量的夾角，向量的模．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$+$\frac{\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$，
∴$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，$\frac{\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$，$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$，分別表示向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的單位向量，
∴向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$，
∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴以$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$為直徑畫一個圓，則$\overrightarrow{c}$在該圓上，且圓的半徑為$\sqrt{3}$，
當$\overrightarrow{c}$過以$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$為的中點時，|$\overrightarrow{c}$|取最大值：$\sqrt{3}$+1，
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、圓的性質、向量的三角形法則，考查了推理能力、數(shù)形結合的能力，屬于中檔題．