Question

2．已知P（-2，-3）和以Q為圓心的圓（x-4）²+（y-2）²=9．
（1）求出以PQ為直徑的圓Q₁的一般式方程．
（2）若圓Q和圓Q₁交于A、B兩點(diǎn)，直線PA、PB是以Q為圓心的圓的切線嗎？為什么？
（3）求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由圓（x-4）²+（y-2）²=9可得圓心Q（4，2）．線段PQ的中點(diǎn)Q₁（1，-$\frac{1}{2}$），|PQ₁|=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，即可得出．
（2）由于∠PAQ是以PQ為直徑的圓周角，可得∠PAQ=90°．因此直線PA是以Q為圓心的圓的切線．同理PB是以Q為圓心的圓的切線．
（3）由于交點(diǎn)A，B既在圓（x-4）²+（y-2）²=9上，又在圓（x-1）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{61}{4}$上．兩方程相減即可得出直線AB的方程．

解答 解：（1）由圓（x-4）²+（y-2）²=9可得圓心Q（4，2）．
∴線段PQ的中點(diǎn)Q₁（1，-$\frac{1}{2}$），|PQ₁|=$\frac{\sqrt{61}}{2}$．
∴以PQ為直徑，Q₁為圓心的圓的方程為（x-1）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{61}{4}$；
（2）∵∠PAQ是以PQ為直徑的圓周角，∴∠PAQ=90°．
∴直線PA是以Q為圓心的圓的切線．
同理PB是以Q為圓心的圓的切線．
（3）由于交點(diǎn)A，B既在圓（x-4）²+（y-2）²=9上，又在圓（x-1）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{61}{4}$上．
兩方程相減可得：6x+5y=25，即為直線AB的方程．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、兩圓相交的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．