Question

9．過點P（1，2）的直線與圓x²+y²=4相切，且與直線ax-y+1=0垂直，則實數(shù)a的值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先用點斜式設出切線的方程，再根據(jù)圓心O到切線的距離等于半徑2，求得切線的斜率k的值，可得與之垂直的直線ax-y+1=0的斜率a的值．

解答 解：圓x²+y²=4的圓心為原點O（0，0），半徑等于2，顯然點P（1，2）在圓的外部．
或點P能做2條圓的切線，設切線的斜率為k，則切線方程為y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
根據(jù)圓心O到kx-y+2-k=0的距離等于半徑2，可得$\frac{|0-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=0，或 k=2．
當k=0時，過點P（1，2）的直線斜率為零，故與之垂直的直線ax-y+1=0的斜率不存在；
當k=2時，過點P（1，2）的直線斜率為2，故與之垂直的直線ax-y+1=0的斜率為-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查直線和圓相切的性質，兩條直線垂直的性質，點到直線的距離公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．