Question

9．過點(diǎn)P（1，2）的直線與圓x²+y²=4相切，且與直線ax-y+1=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先用點(diǎn)斜式設(shè)出切線的方程，再根據(jù)圓心O到切線的距離等于半徑2，求得切線的斜率k的值，可得與之垂直的直線ax-y+1=0的斜率a的值．

解答 解：圓x²+y²=4的圓心為原點(diǎn)O（0，0），半徑等于2，顯然點(diǎn)P（1，2）在圓的外部．
或點(diǎn)P能做2條圓的切線，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
根據(jù)圓心O到kx-y+2-k=0的距離等于半徑2，可得$\frac{|0-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=0，或 k=2．
當(dāng)k=0時(shí)，過點(diǎn)P（1，2）的直線斜率為零，故與之垂直的直線ax-y+1=0的斜率不存在；
當(dāng)k=2時(shí)，過點(diǎn)P（1，2）的直線斜率為2，故與之垂直的直線ax-y+1=0的斜率為-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，兩條直線垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．