Question

1．已知直線l過(guò)拋物線x=$\frac{1}{4}$y²的焦點(diǎn)F且與拋物線交于點(diǎn)A，B．
（1）求證：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0；
（2）當(dāng)l斜率為$\frac{1}{2}$時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)C使得△ABC是以C為直角的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)C，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入拋物線方程得y²-4my-4=0，利用韋達(dá)定理可證明；
（2）由已知可求得AB方程，與拋物線方程聯(lián)立求得A，B坐標(biāo)，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C（t²，2t）使△ABC為直角三角形且C為直角，由$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0可求得t值，從而可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)證可得答案．

解答 （1）證明：由題意知，拋物線x=$\frac{1}{4}$y²的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1，0），
設(shè)直線AB的方程為x=my+1，
代入拋物線方程得y²-4my-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，
x₁•x₂=m²y₁•y₂+m（y₁+y₂）+1=1
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-3＜0；
（2）解：AB方程：x-2y-1=0，代入拋物線y²=4x，求得A（9+4$\sqrt{5}$，4+2$\sqrt{5}$），B（9-4$\sqrt{5}$，4-2$\sqrt{5}$），
假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C（t²，2t）使△ABC為直角三角形且C為直角，
此時(shí)$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0，所以t⁴-34t²-3=0，解得t²=17+2$\sqrt{73}$
則存在C（17+2$\sqrt{73}$，$\sqrt{17+2\sqrt{73}}$）使△ABC為直角三角形且C為直角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，考查向量在判斷三角形形狀中的應(yīng)用，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．