Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），動(dòng)點(diǎn)C（x，y），若直線AC，BC的斜率k_AC，k_BC滿足條件${k_{AC}}{k_{BC}}=-\frac{1}{2}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)（1，0）作直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，若線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{3}$．求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線AC，BC的斜率k_AC，k_BC滿足條件${k_{AC}}{k_{BC}}=-\frac{1}{2}$，即可求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）分類討論，直線代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{3}$，求出k，即可求此時(shí)直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)C（x，y）
$\begin{array}{l}∴{k_{AC}}=\frac{y}{{x+\sqrt{2}}}（x≠-\sqrt{2}），{k_{BC}}=\frac{y}{{x-\sqrt{2}}}（x≠\sqrt{2}）\\ 又{k_{AC}}•{k_{BC}}=-\frac{1}{2}\\∴\frac{y}{{x+\sqrt{2}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}化簡得：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1（x≠±\sqrt{2}）\\ 故所求軌跡方程為：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1（x≠±\sqrt{2}）\end{array}$
（2）解：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不滿足題意．
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l的方程為：y=k（x-1），
代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{2}{3}\\ 解之得：k=±\frac{1}{2}，故所求直線方程為：y=±\frac{1}{2}（x-1）.\end{array}$，
∴k=±$\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程y=±$\frac{1}{2}$（x-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．