Question

5．已知函數(shù)$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}），x∈R$．
（Ⅰ）在給定坐標(biāo)系中，用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的圖象（先列表，再畫(huà)圖）；
（Ⅱ）求f（x）的對(duì)稱(chēng)中心；
（Ⅲ）求直線(xiàn)$y=\frac{1}{2}$與函數(shù)y=f（x）的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的圖象（先列表，再畫(huà)圖）；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可求f（x）的對(duì)稱(chēng)中心；
（Ⅲ）根據(jù)直線(xiàn)$y=\frac{1}{2}$與函數(shù)y=f（x）的圖象的關(guān)系解方程即可求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）列表：

x	$-\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
$2x+\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	0	1	0	-1	0

函數(shù)圖象如下圖所示：

（Ⅱ）∵y=sinx的對(duì)稱(chēng)中心為（kπ，0）（k∈Z），
∴由$2x+\frac{π}{3}=kπ$知：$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}（k∈Z）$，
∴f（x）的對(duì)稱(chēng)中心為$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}，0）（k∈Z）$
（Ⅲ）由$sin（2x+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$知：$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}+2kπ$或$2x+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}+2kπ$（k∈Z），
∴$x=-\frac{π}{12}+kπ$或$x=\frac{π}{4}+kπ（k∈Z）$
即直線(xiàn)$y=\frac{1}{2}$與函數(shù)y=f（x）的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$x=-\frac{π}{12}+kπ$或$x=\frac{π}{4}+kπ（k∈Z）$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握五點(diǎn)法作圖，難度不大．