Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+$\frac{2}{a}}$|+|x-a|（a≠0）．
（1）證明：f（x）≥2$\sqrt{2}$；
（2）如果a＞0且f（3）＜6，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值三角不等式求得f（x）≥|a|+|$\frac{2}{a}$|，再利用基本不等式證得|a|+|$\frac{2}{a}$|≥2$\sqrt{2}$，從而證得結(jié)論．
（2）f（3）＜6，即|3+$\frac{2}{a}$|+|3-a|＜6，再分類討論求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵f（x）=|x+$\frac{2}{a}$|+|x-a|≥|（x+$\frac{2}{a}$）-（x-a）|=|a+$\frac{2}{a}$|=|a|+|$\frac{2}{a}$|≥2$\sqrt{2}$，
故f（x）≥2$\sqrt{2}$成立．
（2）解：f（3）＜6，即|3+$\frac{2}{a}$|+|3-a|＜6，
當a＞$\frac{2}{3}$時，可得3+$\frac{2}{a}$+|a-3|＜6，
即|a-3|＜3-$\frac{2}{a}$，即$\frac{2}{a}$-3＜a-3＜3-$\frac{2}{a}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{2}{3}}\\{a-\frac{2}{a}＞0}\\{a+\frac{2}{a}＜6}\end{array}\right.$，求得$\sqrt{2}$＜a＜3+$\sqrt{7}$．
a=$\frac{2}{3}$ 時，可得|3+3|+|3-$\frac{2}{3}$|＜6不成立，故a≠$\frac{2}{3}$．
0＜a＜$\frac{2}{3}$時，可得|a-3|＜3-$\frac{2}{a}$不成立，即a∈∅．
綜上可得，$\sqrt{2}$＜a＜3+$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．