Question

1．我們稱滿足下面條件的函數(shù)y=f（x）為“ξ函數(shù)”：存在一條與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個不同交點（設為P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂））的直線，y=（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$處的切線與此直線平行．下列函數(shù)：
①y=$\frac{1}{x}$        ②y=x²（x＞0）③y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$       ④y=lnx，
其中為“ξ函數(shù)”的是②③ （將所有你認為正確的序號填在橫線上）

Answer 1

分析 利用導數(shù)的幾何意義，分別判斷四個函數(shù)求在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$處的切線斜率與導數(shù)值是否相等即可．

解答 解：（1）設一條直線l與函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象有兩個不同交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）的直線，可得k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$．由于y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，可得y=f（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$處切線的斜率k=f′（ $\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{4}{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$，可得-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$≠-$\frac{4}{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$，因此函數(shù)y=$\frac{1}{x}$不是ξ函數(shù)”；
（2）設一條直線l與函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象有兩個不同交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直線，則k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=2x=x₂+x₁，
∵y′=2x，
∴y=f（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$處的切線的斜率k=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x₁+x₂，
∴存在一條直線l與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個不同交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直線，使y=f（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$處的切線與此直線平行，
因此函數(shù)y=x²為ξ函數(shù)；
同理可判定：（3）為“ξ函數(shù)；（4）不為ξ函數(shù)．
故答案為：②③．

點評 本題考查了新定義ξ函數(shù)、直線的斜率計算公式、利用導數(shù)研究函數(shù)切線的斜率，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．