Question

1．設F₁，F(xiàn)₂分分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點，點P滿足|PF₂|=|F₁F₂|，且，∠PF₂F₁=90°，則雙曲線的離心率e等于1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意，將x=c代入雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，利用|PF₂|=|F₁F₂|，可得2c=$\frac{^{2}}{a}$，由此可求雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，將x=c代入雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴2c=$\frac{^{2}}{a}$，
∴2c=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$，
∴2ac=c²-a²，
∴e²-2e-1=0，
∵e＞1，
∴e=1+$\sqrt{2}$．
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查學生的計算能力，確定2c=$\frac{^{2}}{a}$是關(guān)鍵．