Question

14．關(guān)于x的方程x²+4xsin$\frac{θ}{2}+mtan\frac{θ}{2}=0（\frac{π}{2}＜θ＜π）$有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當m=$\frac{6}{5}$時，求$\frac{{\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}-θ）•sinθ}}{cos2θ}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得△=0，可得m=$\frac{4si{n}^{2}\frac{θ}{2}}{tan\frac{θ}{2}}$=4sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=2sinθ，由三角函數(shù)的知識可得；
（2）當m=$\frac{6}{5}$時，sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=-$\frac{4}{5}$，化簡要求的式子，代入計算可得．

解答 解：（1）由題意可得△=（4sin$\frac{θ}{2}$）²-4mtan$\frac{θ}{2}$=0，
∴m=$\frac{4si{n}^{2}\frac{θ}{2}}{tan\frac{θ}{2}}$=4sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=2sinθ，
∵$\frac{π}{2}$＜θ＜π，∴0＜sinθ＜1，
∴0＜2sinθ＜2，
∴實數(shù)m的取值范圍為（0，2）；
（2）當m=$\frac{6}{5}$時，sinθ=$\frac{3}{5}$，
又$\frac{π}{2}$＜θ＜π，∴cosθ=-$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{{\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}-θ）•sinθ}}{cos2θ}$=$\frac{\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ）sinθ}{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}$
=$\frac{（cosθ+sinθ）sinθ}{（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）}$
=$\frac{sinθ}{cosθ-sinθ}$=$\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}}$=-$\frac{3}{7}$

點評 本題考查三角函數(shù)化簡求值，涉及和差角的三角函數(shù)公式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，屬中檔題．