Question

1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f（x）=sin2xcosB-2cos²xsinB+sinB，x∈R，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{5π}{12}$對(duì)稱．
（Ⅰ）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值并求相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）若b=3且$sinA+sinC=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 首先利用二倍角公式及兩角差的正弦化簡(jiǎn)．
（Ⅰ）把$x=\frac{5π}{12}$代入，得$2×\frac{5π}{12}-B=kπ+\frac{π}{2}$，解得B，再由角B的范圍求出具體角B，結(jié)合$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$求得函數(shù)f（x）的最大值并求相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）由正弦定理及和比定理結(jié)合已知求得a+c，結(jié)合余弦定理求得ac=$\frac{7}{3}$，代入三角形面積公式求△ABC的面積．

解答 解：f（x）=sin2xcosB-2cos²xsinB+sinB=sin2xcosB-（1+cos2x）sinB+sinB=sin（2x-B）．
（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{5π}{12}$對(duì)稱，知$2×\frac{5π}{12}-B=kπ+\frac{π}{2}$，解得B=-kπ$+\frac{π}{3}$（k∈Z），
又B∈（0，π），∴當(dāng)k=0時(shí)，B=$\frac{π}{3}$；
當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
于是當(dāng)$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為1；
（Ⅱ）由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{a+c}{sinA+sinC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$，
又$sinA+sinC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，得$a+c=2\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=4$，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
解得ac=$\frac{7}{3}$，
于是△ABC的面積為$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．