Question

11．已知函數$f（x）=\frac{（sinx-cosx）sin2x}{sinx}$．
（Ⅰ）求f（x）的定義域及最小正周期T；
（Ⅱ）求使f（x）≥0時，x的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在最小正實數m，使得函數f（x）的圖象向左平移m個單位后成為偶函數？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，由sinx≠0，可求f（x）的定義域，利用三角函數周期公式可求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由f（x）≥0知，$sin（2x-\frac{π}{4}）≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$\frac{π}{4}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}+2kπ（k∈Z）$，即可解得x的取值范圍．
（Ⅲ）f（x）的圖象向左平移m個單位后得到的函數為$y=\sqrt{2}sin[2（x+m）-\frac{π}{4}]-1$，該函數為偶函數，則需滿足$2m-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，從而解得m的值，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{（sinx-cosx）sin2x}{sinx}=\frac{（sinx-cosx）2sinxcosx}{sinx}=2sinxcosx-2{cos^2}x$
=$sin2x-（cos2x+1）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1$，
∴由sinx≠0知，x≠kπ（k∈Z），
∴f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，
f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）由f（x）≥0知，$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1≥0$即$sin（2x-\frac{π}{4}）≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{π}{4}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}+2kπ（k∈Z）$，即$\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）≥0時，x的取值范圍為：$[\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{2}+kπ]（k∈Z）$．
（Ⅲ）函數f（x）的圖象向左平移m個單位后得到的函數為$y=\sqrt{2}sin[2（x+m）-\frac{π}{4}]-1$，
即$y=\sqrt{2}sin（2x+2m-\frac{π}{4}）-1$，
若要使該函數為偶函數，則需滿足$2m-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
∴$m=\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，
∴存在最小正實數$m=\frac{3π}{8}$，使得函數f（x）的圖象向左平移m個單位后為偶函數．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質，考查了數形結合思想和轉化思想的應用，屬于中檔題．