Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，}&{x≥a}\\{-{x}^{2}，}&{x＜a}\end{array}\right.$，a∈R，若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）．

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)可得f（x）=b有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可求a的范圍．

解答 解：∵g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)
∴f（x）=b有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由于y=-x²在（-∞，a）遞增，y=x³在[a，+∞）遞增，
要使y=f（x）與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
可得$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-{a}^{2}＞{a}^{3}\end{array}\right.$，
可得a＜-1．
實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-∞，-1）．
故答案為：（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．