Question

16．實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，…x₁₀₀₈…x₂₀₁₅，滿足0≤x₁≤x₂≤x₃≤…≤x₁₀₀₈≤…≤x₂₀₁₅≤13如果它們的平方組成公差$d=\frac{72}{1007}$的等差數(shù)列，當(dāng)|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+…+|x₂₀₁₄-x₂₀₁₅|取最小值時(shí)，x₁₀₀₈=$\sqrt{97}$．

Answer 1

分析 由題意，|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+…+|x₂₀₁₄-x₂₀₁₅|=x₂-x₁+x₃-x₂+…+x₂₀₁₅-x₂₀₁₄=x₂₀₁₅-x₁，利用平方組成公差$d=\frac{72}{1007}$的等差數(shù)列，可得x₂₀₁₅²=x₁²+2014×$\frac{72}{1007}$=x₁²+144≤169，0≤x₁≤5，確定x₁=5，x₂₀₁₅=13時(shí)，取得最小值8，即可求出x₁₀₀₈．

解答 解：由題意，|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+…+|x₂₀₁₄-x₂₀₁₅|=x₂-x₁+x₃-x₂+…+x₂₀₁₅-x₂₀₁₄=x₂₀₁₅-x₁，
∵平方組成公差$d=\frac{72}{1007}$的等差數(shù)列，
∴x₂₀₁₅²=x₁²+2014×$\frac{72}{1007}$=x₁²+144≤169，
∴0≤x₁≤5，
x₂₀₁₅-x₁=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+144}$-x₁=$\frac{144}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+144}+{x}_{1}}$
在x₁=5，x₂₀₁₅=13時(shí)，取得最小值8
∴x₁₀₀₈²=x₁²+1007×$\frac{72}{1007}$=97，
∴x₁₀₀₈=$\sqrt{97}$．
故答案為：$\sqrt{97}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定x₁=5，x₂₀₁₅=13時(shí)，取得最小值是關(guān)鍵．