Question

5．某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，按其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六組[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖中的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）估計(jì)本次考試的數(shù)學(xué)平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（Ⅲ）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110，130）的學(xué)生成績中抽取一個容量為6的樣本，再從這6個樣本中任取2人成績，求至多有1人成績在分?jǐn)?shù)段[120，130）內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出分?jǐn)?shù)在[120，130）內(nèi)的頻率，補(bǔ)充的長方形的高，由此能補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（Ⅱ）利用頻率分布直方圖能估計(jì)平均分．
（Ⅲ）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110，130）的學(xué)生成績中抽取一個容量為6的樣本，需在[110，120）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人成績，分別記為m，n，在[120，130）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人成績，分別記為a，b，c，d，由此利用列舉法能求出至多有1人成績在分?jǐn)?shù)段[120，130）內(nèi)的概率．

解答 解：（Ⅰ）分?jǐn)?shù)在[120，130）內(nèi)的頻率1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3，
因此補(bǔ)充的長方形的高為0.03，補(bǔ)全頻率分布直方圖為：…..（4分）

（Ⅱ）估計(jì)平均分為$\overline x=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121$…..（8分）
（Ⅲ）由題意，[110，120）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與[120，130）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)之比為1：2，
用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110，130）的學(xué)生成績中抽取一個容量為6的樣本，
需在[110，120）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人成績，分別記為m，n，
在[120，130）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人成績，分別記為a，b，c，d，
設(shè)“從6個樣本中任取2人成績，至多有1人成績在分?jǐn)?shù)段[120，130）內(nèi)”為事件A，
則基本事件共有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），
（n，b），（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），
（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共15個．
事件A包含的基本事件有{（m，n），（m，a），（m，b），
（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）}共9個．
∴P（A）=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．…..（12分）

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．