Question

9．已知f（x）=（log₂x）²-2alog₂x-3（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，解不等式f（x）＜0；
（2）若x∈[2，8]，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）解不等式求出不等式的解集即可；（2）求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）a=-1時(shí)，不等式f（x）＜0，
得${{（log}_{2}x）}^{2}$+2log₂x-3＜0，解得：-3＜log₂x＜1，
故不等式的解集是{x|$\frac{1}{8}$＜x＜2}；
（2）令t=log₂x，∵x∈[2，8]，∴t∈[1，3]，
函數(shù)f（x）換元得：
y=g（t）=t²-2at-3，t∈[1，3]，
此時(shí)二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸t=a，
①a≤1時(shí)，y_min=g（1）=1-2a-3=-2a-2，
②1＜a≤3時(shí)，y_min=g（a）=-a²-3，
③a＞3時(shí)，y_min=g（3）=6-6a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．