Question

20．若數(shù)列{a_n}前n項和S_n滿足S_n-1+S_n=2n²+1（n≥2，n∈N⁺），且滿足a₁=x，{a_n}單調遞增，則x的取值范圍是（2，3）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出與a_n的有關的關系式，利用條件，{a_n}單調遞增，建立條件，即可得到結論．

解答 解：由條件S_n-1+S_n=2n²+1（n≥2）得S_n+S_n+1=2（n+1）²+1，
兩式相減得a_n+1+a_n=4n+2，
故a_n+2+a_n+1=4n+6，兩式再相減得a_n+2-a_n=4，得{a_n+2}是公差d=4的等差數(shù)列，
由n=2得a₁+a₂+a₁=9，a₂=9-2x，
從而a_2n=4n+5-2x；       
n=3得a₁+a₂+a₃+a₁+a₂=19，a₃=1+2x，從而a_2n+1=4n-3+2x，
由條件得$\left\{\begin{array}{l}{x＜9-2x}\\{4n+5-2x＜4n-3+2x}\\{4n-3+2x＜4（n+1）+5-2x}\end{array}\right.$，
解得2＜x＜3，
故x的取值范圍為（2，3），
故答案為：（2，3）．

點評 本題主要考查參數(shù)的取值范圍的求解，根據(jù)條件求出與a_n的有關的關系式是解決本題的關鍵，有一定的難度．