Question

3．設(shè)F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，A（1，4），則△PAF周長(zhǎng)的最小值為$9+\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 求出右焦點(diǎn)H 的坐標(biāo)，由雙曲線的定義可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，求得2a+|AH|的值，即可求出△PAF周長(zhǎng)的最小值．

解答 解：∵F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦點(diǎn)，∴a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=4，F(xiàn)（-4，0 ），右焦點(diǎn)為H（4，0），
由雙曲線的定義可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+$\sqrt{（4-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=4+5=9，
∵|AF|=$\sqrt{（1+4）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴△PAF周長(zhǎng)的最小值為$9+\sqrt{41}$．
故答案為：$9+\sqrt{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，把|PF|+|PA|化為2a+|PH|+|PA|是解題的關(guān)鍵．