Question

16．下列命題：
①若α+β=$\frac{7π}{4}$，則（1-tanα）•（1-tanβ）=2；
②已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（2，λ），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是λ＜1；
③已知O平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，λ∈（0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的重心；
④在△ABC所在的平面上有一點P，滿足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{AB}$，則△PBC與△ABC的面積之比是$\frac{1}{2}$．
其中真命題的序號為①③．

Answer 1

分析 ①利用和角的正切公式，即可得出結(jié)論；②當λ=-4時，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$同向，不符合；
③設(shè)BC的中點為D，動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{OA}$+2λ$\overrightarrow{OD}$，即可得出結(jié)論；
④解題突破口是從已知條件所給的關(guān)系式化簡，確定出2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{CP}$，即點P是CA邊上的第二個三等分點，由此問題可解．

解答 解：①因為α+β=$\frac{7π}{4}$，所以tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-1，所以，tanα+tanβ=-1+tanαtanβ
即：2=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=（1-tanα）（1-tanβ），故正確；
②∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＞0，即2-2λ＞0，解得λ＜1；當λ=-4時，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$同向，∴實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-4）∪（-4，1），故不正確；
③設(shè)BC的中點為D，動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{OA}$+2λ$\overrightarrow{OD}$，則P的軌跡一定通過△ABC的重心，故正確；
④在△ABC所在的平面上有一點P，滿足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，即2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{CP}$，所以點P是CA邊上的第二個三等分點，故△PBC與△ABC的面積之比是2：3，故不正確．
故答案為：①③．

點評 本題考查命題的真假判斷，涉及和角的正切公式，向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．