Question

6．某公司決定采用技術(shù)改造和投放廣告兩項(xiàng)措施來(lái)獲得更大的收益．通過(guò)對(duì)市場(chǎng)的預(yù)測(cè)，當(dāng)對(duì)兩項(xiàng)投入都不大于3（百萬(wàn)元）時(shí)，每投入x（百萬(wàn)元） 技術(shù)改造費(fèi)，增加的銷(xiāo)售額y₁滿(mǎn)足y₁=-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x（百萬(wàn)元）；每投入x（百萬(wàn)元） 廣告費(fèi)用，增加的銷(xiāo)售額y₂滿(mǎn)足y₂=-2x²+14x（百萬(wàn)元）．現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3（百萬(wàn)元），分別用于技術(shù)改造投入和廣告投入，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種資金分配方案，使得該公司獲得最大收益．（注：收益=銷(xiāo)售額-投入，答案數(shù)據(jù)精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 先計(jì)算投入帶來(lái)的銷(xiāo)售額增加值，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可確定函數(shù)的最值．

解答 解：設(shè)3百萬(wàn)元中技術(shù)改造投入為x（百萬(wàn)元），廣告費(fèi)投入為3-x（百萬(wàn)元），…（1分）
則廣告收入帶來(lái)的銷(xiāo)售額增加值為-2（3-x）²+14（3-x）（百萬(wàn)元），
技術(shù)改造投入帶來(lái)的銷(xiāo)售額增加值為-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x（百萬(wàn)元），…（3分）
所以，投入帶來(lái)的收益F（x）=-2（3-x）²+14（3-x）-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x-3．
整理上式得F（x）=-$\frac{1}{3}$x³+3x+21，…（6分）
因?yàn)镕′（x）=-x²+3，
令F′（x）=0，解得x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$（舍去），
當(dāng)x∈[0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（$\sqrt{3}$，3]時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，…（10分）
所以，x=$\sqrt{3}$≈1.73時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值．…（11分）
所以，當(dāng)該公司用于廣告投入1.27（百萬(wàn)元），用于技術(shù)改造投入1.73（百萬(wàn)元）時(shí)，公司將獲得最大收益．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．