Question

6．某公司決定采用技術(shù)改造和投放廣告兩項措施來獲得更大的收益．通過對市場的預(yù)測，當對兩項投入都不大于3（百萬元）時，每投入x（百萬元） 技術(shù)改造費，增加的銷售額y₁滿足y₁=-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x（百萬元）；每投入x（百萬元） 廣告費用，增加的銷售額y₂滿足y₂=-2x²+14x（百萬元）．現(xiàn)該公司準備共投入3（百萬元），分別用于技術(shù)改造投入和廣告投入，請設(shè)計一種資金分配方案，使得該公司獲得最大收益．（注：收益=銷售額-投入，答案數(shù)據(jù)精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 先計算投入帶來的銷售額增加值，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可確定函數(shù)的最值．

解答 解：設(shè)3百萬元中技術(shù)改造投入為x（百萬元），廣告費投入為3-x（百萬元），…（1分）
則廣告收入帶來的銷售額增加值為-2（3-x）²+14（3-x）（百萬元），
技術(shù)改造投入帶來的銷售額增加值為-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x（百萬元），…（3分）
所以，投入帶來的收益F（x）=-2（3-x）²+14（3-x）-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x-3．
整理上式得F（x）=-$\frac{1}{3}$x³+3x+21，…（6分）
因為F′（x）=-x²+3，
令F′（x）=0，解得x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$（舍去），
當x∈[0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)′（x）＞0，當x∈（$\sqrt{3}$，3]時，F(xiàn)′（x）＜0，…（10分）
所以，x=$\sqrt{3}$≈1.73時，F(xiàn)（x）取得最大值．…（11分）
所以，當該公司用于廣告投入1.27（百萬元），用于技術(shù)改造投入1.73（百萬元）時，公司將獲得最大收益．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．