Question

12．已知函數(shù)f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的方程；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=x³，請寫出曲線y=f（x）與y=g（x）最多有幾個交點．（直接寫出結(jié)論即可）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=1時的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，當a≤0時，當a＞0時，求出單調(diào)區(qū)間，極值，由題意可得零點和a的范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）和y=x³的圖象可得，曲線f（x）=x-ae^x與曲線g（x）=x³最多有3個交點．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x-e^x，f′（x）=1-e^x．
當x=0時，y=-1，又f′（0）=0，
所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-1；
（Ⅱ）由f（x）=x-ae^x，得f′（x）=1-ae^x．
當a≤0時，f'（x）＞0，此時f（x）在R上單調(diào)遞增；
當x=a時，f（a）=a-ae^a=a（1-e^a）≤0，當x=1時，f（1）=1-ae＞0，
所以當a≤0時，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點；         
當a＞0時，令f'（x）=0，得x=-lna．f（x）與f'（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上的情況如下：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

若曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點，
則有f（-lna）=0，即-lna-a e^-lna=0．解得$a=\frac{1}{e}$．
綜上所述，當a≤0或$a=\frac{1}{e}$時，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點；
（Ⅲ）曲線f（x）=x-ae^x與曲線g（x）=x³最多有3個交點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)零點的問題的解法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．