7.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知向量$\overrightarrow{m}$=(sinA,sinB+sinC),向量$\overrightarrow{n}$=(b-c,a-c),且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$.
(1)求角B;
(2)求sinA•cosC的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)題意和向量共線的坐標運算列出方程,由正弦定理化簡后,由余弦定理求出cosB的值,由B的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B;
(2)由(1)和內(nèi)角和定理表示出C,由二倍角公式及變形、兩角和的正弦公式化簡sinAcosC,由A 的范圍和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出sinAcosC范圍.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{m}$=(sinA,sinB+sinC),$\overrightarrow{n}$=(b-c,a-c),且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,
∴sinA(a-c)-(sinB+sinC)(b-c)=0,
由正弦定理得,a(a-c)-(b+c)(b-c)=0,
則a2+c2-b2=ac,
由余弦定理得,cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,
∵0<B<π,∴B=$\frac{π}{3}$;
(2)由(1)得,A+C=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$,
則sinAcosC=sinAcos($\frac{2π}{3}$-A)
=sinA(-$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA)=-$\frac{1}{4}$sin2A+$\frac{\sqrt{3}}{4}$(1-cos2A)
=-$\frac{1}{2}$sin(2A+$\frac{π}{3}$)+$\frac{\sqrt{3}}{4}$,
由B=$\frac{π}{3}$可知 0<A<$\frac{2π}{3}$,∴$\frac{π}{3}$<2A+$\frac{π}{3}$<$\frac{5π}{3}$,
則-1≤sin(2A+$\frac{π}{3}$)≤1,即 $\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$sin(2A+$\frac{π}{3}$)≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{1}{2}$,
∴sinAcosC的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{1}{2}$].

點評 本題考查二倍角公式及變形、兩角和的正弦公式,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),向量共線坐標運算,以及正弦定理、余弦定理,考查三角函數(shù)的化簡和求值,考查化簡、運算能力.

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