Question

1．設(shè)橢圓的中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個焦點與短軸的兩個頂點的連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的頂點的距離為4（$\sqrt{2}$-1），求此橢圓的方程，并指出它的焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離心率．

Answer 1

分析 以焦點在x軸上的橢圓為例，由已知列式求出a，b，c的值，則分類寫出焦點在x、y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離心率．

解答 解：不妨以焦點在x軸上的橢圓為例，如圖，

則由題意可得，b=c，a-c=4（$\sqrt{2}-1$）．
又a²=b²+c²，聯(lián)立以上三式解得：$a=4\sqrt{2}$，b=c=4．
橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{32}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
焦點坐標(biāo)為（-4，0）和（4，0）．
頂點坐標(biāo)分別為（$-4\sqrt{2}$，0），（$4\sqrt{2}$，0），（0，-4），（0，4）．
離心率為e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
若橢圓焦點在y軸上，橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{32}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$．
焦點坐標(biāo)為（0，-4）和（0，4）．
頂點坐標(biāo)分別為（0，$-4\sqrt{2}$），（0，$4\sqrt{2}$），（-4，0），（4，0）．
離心率為e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，是基礎(chǔ)題．