Question

14．若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)榧�合A，且函數(shù)f（x-1）的定義域是[5，17]．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=（log₂x）²-alog${\;}_{\sqrt{2}}$x+5（x∈A），求函數(shù)h（x）的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）由已知可得4≤x-1≤16，可得A=[4，16]；
（2）換元可得t=log₂x∈[2，4]，h（x）=（t-a）²+5-a²，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x-1）的定義域是[5，17]，
∴5≤x≤17，∴4≤x-1≤16，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇4，16]，
故A=[4，16]；
（2）∵x∈A=[4，16]，∴t=log₂x∈[2，4]，
∴h（x）=（log₂x）²-alog${\;}_{\sqrt{2}}$x+5
=t²-2at+5=（t-a）²+5-a²=h（t），
由二次函數(shù)可知，當(dāng)a＜3時(shí)，g（a）=h（4）=21-8a；
當(dāng)a≥3時(shí)，g（a）=h（2）=9-4a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．