Question

 已知數列{a_n}滿足a₁＝a(a＞0，a∈N^*)，a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n＋1＝0(p≠0，p≠－1，n∈N^*)．

(1)求數列{a_n}的通項公式a_n；

(2)若對每一個正整數k，若將a_k＋1，a_k＋2，a_k＋3按從小到大的順序排列后，此三項均能構成等差數列，且公差為d_k.①求p的值及對應的數列{d_k}．

②記S_k為數列{d_k}的前k項和，問是否存在a，使得S_k＜30對任意正整數k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 (1)因為a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n＋1＝0，所以n≥2時，a₁＋a₂＋…＋a_n－1－pa_n＝0，兩式相減，得＝(n≥2)，故數列{a_n}從第二項起是公比為的等比數列，又當n＝1時，a₁－pa₂＝0，解得a₂＝，

從而a_n＝

(2)①由(1)得a_k＋1＝^k－1，

a_k＋2＝^k，a_k＋3＝^k＋1，

若a_k＋1為等差中項，則2a_k＋1＝a_k＋2＋a_k＋3，

即＝1或＝－2，解得p＝－；

此時a_k＋1＝－3a(－2)^k－1，a_k＋2＝－3a(－2)^k，

所以d_k＝|a_k＋1－a_k＋2|＝9a·2^k－1，

若a_k＋2為等差中項，則2a_k＋2＝a_k＋1＋a_k＋3，

即＝1，此時無解；

若a_k＋3為等差中項，則2a_k＋3＝a_k＋1＋a_k＋2，

即＝1或＝－，解得p＝－，

此時a_k＋1＝－^k－1，a_k＋3＝－^k＋1，

所以d_k＝|a_k＋1－a_k＋3|＝·^k－1，

綜上所述，p＝－，d_k＝9a·2^k－1或p＝－，

d_k＝·^k－1.

②當p＝－時，S_k＝9a(2^k－1)．

則由S_k＜30，得a＜，

當k≥3時，＜1，所以必定有a＜1，

所以不存在這樣的最大正整數．

當p＝－時，S_k＝，

則由S_k＜30，得a＜，因為＞，所以a＝13滿足S_k＜30恒成立；但當a＝14時，存在k＝5，使得a＞即S_k＜30，

所以此時滿足題意的最大正整數a＝13.