Question

17．由曲線y=x²和直線x=0，x=2，y=t²，t∈[0，2]圍成的封閉圖形的面積記為S．
（1）用t表示S．
（2）求S的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由圖形將陰影部分的面積用定積分表示出來，再利用定積分的運算規(guī)則將面積表示為t的函數(shù)；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求S的最大值和最小值．

解答 解：（1）由題意及圖象，曲線y=x²和直線y=t²交點坐標(biāo)是（t，t²）
故陰影部分的面積是∫₀^t（t²-x²）d_x+∫_t²（-t²+x²）d_x=（t²x-$\frac{1}{3}$x³）|₀^t+（-t²x+$\frac{1}{3}$x³）|_t²=$\frac{4}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+\frac{8}{3}$；
（2）令p=$\frac{4}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+\frac{8}{3}$，則p′=4t²-4t=4t（t-1），
知p=$\frac{4}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+\frac{8}{3}$在[0，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)，
∴在t=1時取到最小值，面積的最小值是2；t=0時，面積最大，最大值為$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查求定積分，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象與函數(shù)解析式將面積用積分表示出來，利用積分的定義得到關(guān)于變量t的表達(dá)式，再研究其單調(diào)性求出最值，本題運算量較大涉及到的考點較多，綜合性強，運算量大，極易因運算、變形出錯．