Question

18．拋物線x²=y（-2≤x≤2）繞軸旋轉(zhuǎn)180°形成一個(gè)如圖所示的旋轉(zhuǎn)體，在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個(gè)正方體，使正方體的上底面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開(kāi)口面平齊，下底面的四個(gè)頂點(diǎn)落在曲面上，則此正方體的外接球的表面積為（　�。�

• A． 4π
• B． 12π
• C． 16π
• D． 48π

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出過(guò)正方體的兩條相對(duì)側(cè)棱的截面圖，設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，然后利用A點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等列式求解a的值，可得正方體的棱長(zhǎng)是2，求出正方體的外接球的半徑，即可求出正方體的外接球的表面積．

解答 解：作過(guò)正方體的兩條相對(duì)側(cè)棱的截面圖如圖，
設(shè)正方體AC₁的棱長(zhǎng)AA₁=a，則底面對(duì)角線AC=$\sqrt{2}$a，
所以A點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，代入拋物線y=x²得A點(diǎn)縱坐標(biāo)為$\frac{{a}^{2}}{2}$．
又由題意可知A點(diǎn)縱坐標(biāo)等于4-a．
所以$\frac{{a}^{2}}{2}$=4-a，解得：a=2．
所以正方體的棱長(zhǎng)是2，
所以正方體的外接球的半徑為$\sqrt{3}$，
所以正方體的外接球的表面積為4π•3=12π．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，能夠正確作出該題的截面圖是解答該題的關(guān)鍵，屬中檔題．